Un processo stocastico è un entità matematica utilizzata per rappresentare l'evoluzione di un sistema nel tempo governato da leggi probabilistiche, piuttosto che da regole deterministiche. A differenza di una singola variabile casuale, lo definiamo fondamentalmente come una collezione di variabili casuali $\{X_n : n \in T\}$ indicizzate dal tempo. In questa lezione ci concentriamo sul Cammino Casuale Semplice (CRS)—un modello a tempo discreto che simula il patrimonio di un giocatore, partendo da un valore iniziale ($a$) e procedendo attraverso scommesse indipendenti.
1. Meccanica di un Cammino Casuale Semplice
Esprimiamo lo stato del cammino al tempo $n$ come somma di incrementi indipendenti:
$$X_n = a + Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n$$
dove ogni $Z_i$ rappresenta l'esito di una scommessa: $+1$ (vittoria) con probabilità $p$, e $-1$ (perdita) con probabilità $q = 1-p$.
Sia $\{X_n\}$ un cammino casuale semplice. Se $k$ è un intero tale che $-n \leq k \leq n$ e $n + k$ è pari, allora la probabilità di trovarsi nello stato $a+k$ dopo $n$ passi è:
$$P(X_n = a+k) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}} p^{(n+k)/2} q^{(n-k)/2}$$
Errore Critico: Per tutti gli altri valori di $k$ (dove $n+k$ è dispari o $|k| > n$), $P(X_n = a + k) = 0$. Questo "controllo di parità" garantisce che si possano raggiungere solo stati specifici in base al numero di passi compiuti.
2. Valore Atteso e Equità
La traiettoria media del processo dipende dalla probabilità $p$. Il valore atteso al tempo $n$ è dato da:
$E(X_n) = a + n(2p - 1)$
- Gioco Equo ($p = 1/2$): Il processo è un Martingala. In media, il patrimonio rimane costante: $E(X_{n+1} - X_n | X_n) = 0$.
- Gioco Sottoequo ($p < 1/2$): Il processo tende a scendere verso la rovina.
- Gioco Sovraequo ($p > 1/2$): Il processo tende a salire.
3. Il Quadro più Ampio
Mentre il CRS si occupa di somme discrete, i processi stocastici includono anche modelli continui. Ad esempio, il Processo di Poisson ($N_t$) presenta incrementi indipendenti dove $P(N_t = k) = e^{-at} \frac{(at)^k}{k!}$. Vediamo anche queste dinamiche nelle distribuzioni target per il campionamento MCMC, come $f(y) = e^{-y^4}(1+|y|)^3$. Questi processi spesso utilizzano notazioni di transizione come $v_1 = v_0 A$.